数学 v.s. 物理

In mathematics you don’t understand things. You just get used to them.
在数学中，你不是理解事物，而只是习惯它们。
—— John Von Neumann（约翰·冯·诺伊曼）

物理的概念大多是相对直观的，通常有现实的对应，比如力、质量、速度、温度等等，即便是无法眼见为实的“场”也很容易建立直观印象。因此物理概念以及建立在之上的自然定律都是相对易于理解的。只有当超出日常生活经验，进入微观的量子世界和极速的相对论世界，概念才变得不再直观，而数学在其中的作用愈发凸显。

相对的，数学的概念本身都是“抽象”的，远不像物理概念那么直观，比如群、域、线性变换、拓扑，这些概念对于初次接触的人而言都是跨越式的。如果说难以理解，其实只是几条并不算复杂的游戏规则；但如果说好理解，很多时候这些简单规则的深刻程度以及所引出的结论却往往远超我们最初的想象，而这些概念本身甚至早已埋藏在我们从小学习的数字及其四则运算之中，只是我们从未熟悉。

物理概念之所以直观，只是因为在接触到这些概念之前，我们早已在生活中熟悉这些概念，只是没有具体赋予定义而已。对于数学概念也是类似，很多时候我们最先只是接受这些概念，并随着其在之后的扩展和应用中的一遍遍的“复现”而逐渐习惯，什么时候，当这些概念变得自然、不再抽象，才算真正被理解。最终这些数学概念之于规则和变换的世界，将像物理概念之于现实世界而言那么自然，愈发直观。这是我对于开篇所引用的冯·诺伊曼那句话的理解。